1. 가능성, 확률
(1) 가능성
확률을 보는 관점은 크게 도수이론(frequency theory)과 주관적 견해(subjective view)로 양분된다.
도수이론은 "어떤 시행 또는 실험을 반복적으로 실시하면, 하나의 사건이 일어나는 상대도수는 반복횟수가 무한히 증가함에 따라 하나의 상수에 수렴하게 된다"는 이론이다. 이는 하나의 시행을 동일한 조건하에서 독립적으로 무한히 반복할 수 있을 때 잘 적용된다. (ex. 동전던지기)
도수이론 말고 다른 견해가 필요한 이유는 많은 경우 반복시행이 원천적으로 불가능하기 때문이다. 즉, 상대도수 자체가 정의될 수 없다. 예를 들어 '그녀가 나를 사랑하고 있을 가능성', '내가 이번 기말고사에서 1등을 차지할 확률'과 같은 질문에선 반복시행을 정의하기 어려워 도수이론에 기댈 수 없게 된다.
반복이 불가능한 상황에서는 확신의 정도를 주관적으로 표현해야 하며 해당 관점을 주관적 견해라고 한다. 주관적이라는 것이 비과학적인 것으로 보일 수 있어도 많은 경제적 거래는 주관적으로 이루어진다. (ex. 주식)
확률을 보는 주관적 견해에 따르면 어떤 사건이 일어날 확률은 "그 사건에 대한 주관적 확신의 정도"이다. 이때 확신의 근거로 반복시행이 필요하진 않다.
(2) 확률
● 확률은 0%부터 100% 사이의 값을 가진다.
● 사건 A가 일어날 확률이 P(A)일 때, 사건 A가 일어나지 않을 확률 P(A') = 1 - P(A)가 성립한다.
(ex. 무승부가 없는 게임에서 이길 확률이 55%라면 질 확률은 45%)
2. 카드가 든 상자
붉은 카드와 푸른 카드가 들어있는 상자가 있다. 이 상자로부터 한 장의 카드를 무작위로 꺼낼 때, 붉은색이면 천 원을 얻고 푸른색이면 아무 것도 얻지 못한다고 할 때, 다음 두 개의 상자 가운데 어느 상자를 선택하는 것이 유리한가? 아니면 마찬가지인가?
● 붉은 카드 3장과 푸른 카드 2장이 든 상자 A
● 붉은 카드 30장과 푸른 카드 20장이 든 상자 B
어떤 사람은 푸른 카드가 적다는 이유로 상자 A를 택한다.
혹은 어떤 사람은 붉은 카드가 많다는 이유로 상자 B를 택한다.
두 사람은 모두 잘못 생각하고 있다. 천 원을 딸 가능성은 두 상자 모두 5분의 3으로 같다.
이는 해당 모형이 반복 시행이 가능한 구조를 띠어, 붉은 카드가 시행 횟수의 5분의 3만큼 나오기 때문이다.
결국 중요한 것은 (붉은 카드의 수 / 전체 카드의 수)의 비율이다.
이러한 상자 모형에서 반복해서 카드를 꺼낼 때, 꺼낸 카드를 다시 집어넣는 것을 복원추출(sampling with replacement)
꺼낸 카드를 집어넣지 않는 것을 비복원추출(sampling without replacement)라고 한다.
| 상자로부터 한 장의 카드를 무작위로 뽑으면 상자 안 각각의 카드가 뽑힐 가능성은 같다. |
3. 가능한 경우를 모두 나열하여 확률을 계산하는 방법
확률을 게산할 때 가능한 경우를 모두 나열해보는 방법도 있다.
문제) 두 개의 주사위를 던진다 나온 두 눈의 합이 4가 될 확률은 얼마인가?
두 주사위를 구분하기 위해 흰색, 검은색의 주사위가 각각 있다고 가정하자.
흰 주사위와 검은 주사위 모두 1 ~ 6까지의 6가지 경우가 가능하다. 즉, 두 주사위에서 파생되는 경우의 수는 6 * 6 = 36가지이다.
이때, 두 눈의 합이 4가 되는 경우는 (1, 3) (2, 2), (3, 1) 세 가지로 답은 3/36 = 1/12이다.
4. 벤 다이어그램과 배반
사건간의 관계를 파악하고 필요한 확률을 계산할 때 벤 다이어그램(venn diagram)을 이용하면 편리하다.
왼쪽과 같이 두 사건 A와 B를 나타낸 원들이 겹치지 않는다면 두 사건은 상호배반(mutually exclusive) 관계에 있다고 말한다. 두 사건이 배반관계에 있으면 두 사건은 동시에 발생할 수 없다.
반면 오른쪽 벤 다이어그램과 같이 두 원이 겹치는 부분이 있다. 이와 같이 두 사건이 배반관계에 있지 않으면 두 사건은 함께 일어날 수 있다.
그림은 주사위를 던지는 시행을 나타낸다. 왼쪽 그림의 A는 홀수가 나오는 사건, B는 6의 눈이 나오는 사건이다. 이 둘은 동시에 성립할 수 없기에 상호배반 관계에 있다.
오른쪽 그림의 A는 홀수가 나오는 사건, B는 3 이하의 숫자가 나오는 사건을 나타낸다. 이때, 홀수이면서 3 이하의 숫자인 1과 3이 두 사건이 겹치는 중앙에 위치하게 된다.
5. 덧셈법칙
두 사건 중 적어도 어느 하나의 사건이 일어날 확률에 대해 알아보자.
적어도 하나의 사건이 일어난다는 것은 첫 번째 사건만 일어나거나, 두 번째 사건만 일어나거나, 아니면 두 사건 모두 일어나는 경우를 포괄한다. 하지만 두 사건이 상호배반이면 두 사건이 모두 일어나는 경우는 고려하지 않아도 된다. 즉, 두 사건이 배반인 경우, 적어도 어느 하나의 사건이 일어날 확률은 각각의 사건이 일어날 확률을 더하면 된다.
※ 좁은 의미의 덧셈법칙: 두 사건이 상호배반일 때, 적어도 하나의 사건이 일어날 확률 P(A 또는 B) = P(A) + P(B)
문제1) 한 벌의 카드를 잘 섞어서 맨 위에 있는 카드를 뽑자. 하트가 나올 확률은 1/4이다. 스페이드가 나올 확률도 1/4이다. 그렇다면 하트나 스페이드가 나올 확률은 얼마인가?
[참고] 포커 카드는 클로버, 스페이드, 하트, 다이아몬드의 네 가지 모양으로 이루어져있다. 또한 각 모양에는 A, 2, 3, ....., 9, J, Q , K의 알파벳 혹은 숫자 13개가 모두 적혀있다. 즉, 카드 한 벌은 4 * 13 = 52장이다.
1. 하트가 나옴 (1/4)
2. 스페이드가 나옴 (1/4)
이와 같이 문제는 두 사건으로 이루어져 있다. 한 장의 카드에서 하트와 스페이드가 동시에 나올 수는 없기에 두 사건은 상호배반이다. 그러므로, 적어도 둘 중 하나가 나올 확률은 각 사건의 확률을 더해 1/4 + 1/4 = 1/2이 된다.
문제2) 두 개의 주사위를 던진다. 다음 문장의 참, 거짓을 판별하라.
'적어도 하나의 주사위에서 1이 나올 확률은 1/6 + 1/6 = 1/3이다.'
(1) 흰 주사위에서 1이 나옴. (1/6)
(2) 검은 주사위에서 1이 나옴. (1/6)
해당 문제는 두 사건으로 이루어져 있다. 하지만 두 사건은 동시에 성립할 수 있기에 상호배반이 아니며, 각각의 확률을 더해선 안 된다. 상호배반이 아닌 경우에 두 확률을 더하면 두 사건이 함께 일어날 확률을 중복 계산하는 실수를 범하게 된다.
만약 두 사건이 상호 배반이 아니면 그 중 적어도 하나의 사건이 일어날 확률을 구할 때, 일반화된 덧셈법칙을 사용한다.
| ※ 일반화된 덧셈법칙: P(A 또는 B) = P(A) + P(B) - P(A 그리고 B) |
P(A 그리고 B)는 두 사건이 함께 일어날 확률로, 두 사건 A와 B의 결합확률(joint probability)라고도 부른다.
6. 조건부확률
앞서 말한 포커 카드의 예시로, 클로버, 스페이드, 하트, 다이아몬드의 네 가지 모양의 카드가 A부터 K까지 각각 13장씩 있다.
문제2) 한 벌의 카드를 잘 섞어서 맨 위에 있는 두 장의 카드를 뽑는다. 만약 두 번째 카드가 하트 Q라면 천 원을 상금으로 받는다고 하자.
(a) 이때 상금을 받을 확률은 얼마인가?
(b) 첫 번째 카드가 클로버 7이었다면, 상금을 받을 확률은 얼마로 변하는가?
(a) - 상금은 첫 번째 카드와 관계없이 두 번째 카드에 의해 결정된다. 카드를 섞은 후 하트 Q가 위에서 두번째 카드에 위치할 확률이므로, 상금을 탈 확률은 1/52이다.
(b) - 첫 번째 카드가 클로버 7이었으므로, 이제 51장의 카드만 남은 셈이다. 남은 카드는 무작위로 섞여있고, 하트 Q는 이 중 한 자리를 차지하고 있을 것이다. 즉 상금을 받을 확률은 1/51이다.
(b)에서 나온 1/51과 같은 확률을 조건부확률(conditional probability)이라고 한다. '첫 번째에 클로버 7이 나온 조건하에서 두 번째에 하트 Q가 나올 확률'을 구했기 때문이다.
| P(두 번째 카드가 하트 Q | 첫 번째 카드가 클로버 7) |
조건부 확률은 다음과 같이 나타낸다. 여기서 | 의 왼쪽에는 확률계산의 대상이 되는 사건을 기술하고, 그 오른쪽에는 주어진 조건을 기술한다.
7. 곱셈법칙
| R | W | B |
문제3) 상자 안에 붉은색(R), 흰색(W), 푸른색(B)의 카드가 다음과 같이 각각 한장씩 들어있다. 두 장의 카드를 무작위로 비복원추출할 때, 첫 번째에 붉은색 카드가 나오고 그 다음에 흰색 카드가 나올 확률은 얼마인가?
첫 번째에 붉은 색 카드를 뽑을 확률은 1/3
두 번째에 흰색 카드를 뽑을 확률은 1/2 (비복원추출)로, R, W의 순서로 카드를 뽑을 확률은 1/3 * 1/2 = 1/6이 된다.
또한, 1/3 * 1/2이 아니라 1/2 * 1/3의 순서로 계산을 해도 무방하다.
| 두 사건이 모두 일어날 확률은 '하나의 사건이 일어날 확률'과 '하나의 사건이 일어났다는 조건하에서 다른 하나의 사건이 일어날 조건부확률'을 곱하여 얻는다. 즉, 두 사건 A와 B에 대하여 P(A 그리고 B) = P(A) * P(B | A) = P(B) * P(A | B)이다. |
※ 이를 일반화된 곱셈법칙이라고 한다.
문제4) 잘 섞인 한 벌의 포커 카드로부터 두 장의 카드를 뽑는다. 두 장 모두 A일 확률은 얼마인가?
P(처음에 A를 뽑음) = 4/52
P(처음에 A를 뽑았을 경우에 두번째에 A를 뽑음) = 3/51 (A가 한장 소모됨)
즉, 두 장 모두 A일 확률은 4/52 * 3/51 = 12/2652 = 약 0.5%라는 답이 도출된다.
8. 분할과 베이즈정리
(1) 분할
동전을 던지면 앞면이 나오거나 뒷면이 나온다. 두 사건을 합치면 가능한 모든 경우 전체를 포괄하고(collectively exhaustive) 중복되는 부분이 없다(mutually exclusive). 즉, 두 사건은 전체를 둘로 나누는 역할을 한다. 통계 용어로 두 사건을 전체의 분할(partition)이라고 정의한다.
| 합쳐서 전체를 포괄하되 전혀 중복이 안 되는 사건들의 집합을 분할이라고 한다. |
합쳐서 전체를 커버하고 또 중복이 없어야 한다는 것은 전체를 몇 개의 부분집단으로 분류할 때 꼭 필요한 성질들이다. 이를 경영에선 MECE(Mutually exclusive Collectively exhaustive)라는 용어로 부르기도 한다.
(2) 베이즈 정리
베이즈 정리는 정보가 증가함에 따라 확률이 변해가는 과정을 조건부 확률을 이용하여 묘사한다. 우화의 양치기 소년이 바로 그 예시이다. 새로운 조건하에서 원하는 사건의 확률을 업데이트할 때 베이즈 정리를 사용한다.
두 사건 A와 B가 주어져있다고 하자. 우리는 사건 A의 관점에서 전체를 A와 A가 아닌것(A')으로 분할할 수 있다. A와 A'는 합치면 전체가 되고, 중복되는 부분이 없다.
사건 B는 'A이면서 B'이거나 'A가 아니면서 B'로 분할된다. 사건 B의 볼록렌즈(A이면서 B)는 사건 A의 조건을 만족시키지만, 오른쪽의 초승달(A가 아니면서 B)은 사건 A의 조건을 만족시키지 못한다. 이에 따라 B가 주어진 상태에서 A가 일어날 조건부 확률은 B의 원에서 차지하는 볼록렌즈의 상대적 크기로 형상화할 수 있다.
'B'를 원, 'A이면서 B'를 볼록렌즈, 'A가 아니면서 B'를 초승달이라고 표현하겠다. 조건부확률 P(A | B)는, 사건 B가 주어진 조건하에서 사건 A가 일어날 확률이다.
이는 B를 A의 관점에서 둘로 분할한 뒤 A를 만족시키는 볼록렌즈 부분의 B 전체에 대한 상대적 크기로 측정된다.
※ A를 만족시키는 부분 or A를 만족시키지 않는 부분으로 분할
(3) 베이즈 정리 나무도표
상호배반인 네 가지 경로를 다음과 같이 표현할 수 있다.
위에서 부터 1,2,3,4번이라고 가정하고 나열하자면
1. A가 주어진 채 B
2. A가 주어진 채 B'
3. A'가 주어진 채 B
4. A'가 주어진 채 B'
※ 따옴표 '가 붙은 건 여사건을 의미하며, A'는 A의 여사건 즉, 벤 다이어그램 상에서 A가 아닌 모든 부분을 의미한다.
전체 사건은 사건 A가 일어나는 경우(1, 2번 경로)와 일어나지 않는 경우(3, 4번 경로)의 두 가지 경우로 분할된다. 각각의 경우는 다시 또 다른 사건인 B가 일어나느냐 마느냐에 따라 두 가지 경우로 세분되며 총 4개의 경로가 생기게 된다. 1,3 번 경로는 B가 일어나는 모든 경우를 커버하고 2,4번 경로는 B가 일어나지 않는 모든 경우를 커버한다. 또한, 한 경로를 따라가면 다른 경로는 따라갈 수 없으므로 각각의 경로는 상호배반이다. 이러한 이유로 네 가지 경로는 전체를 분할한다.
현재 우리는 사건 B가 주어진 조건 하에서 사건 A가 일어날 확률을 구하려 한다. 즉 사건 B가 일어나는 경로인 1,3번 경로에만 집중하면 된다. 좁은 의미의 덧셈 법칙에 의해 사건 B가 일어날 확률은 각각의 경로를 따라 B가 일어날 확률을 합쳐서 구한다.
이때 A가 일어난 경로는 1번 경로뿐이므로, 1,3번 경로 중에서 1번 경로의 비율이 바로 'B가 주어진 상태하에서의 A의 조건부확률'이 된다.
-> P(A | B) = P(1번 경로) / P(1번 경로) + P(3번 경로)
이때 각각의 경로를 다시 구체화를 해보자.
1번 경로의 확률은 A가 주어진 채 B가 발생할 확률이다. 1번 경로를 따라 사건 B가 일어날 확률은 'A 그리고 B'의 결합확률이며 이는 확률의 곱셈법칙에 의해 A의 확률과 A가 주어진 상태에서 B가 일어날 조건부확률을 곱함으로써 얻는다.
이러한 내용을 바탕으로 다음과 같이 표현할 수 있다. 이를 '베이즈 정리'라고 한다.
경로를 통해 다시 얘기하자면, 1번 경로의 확률은 두가지 과정에 의해 계산된다.
1. A가 나타날 확률
2. A가 주어진 채 B가 나타날 확률
경로의 최종 확률인 'A가 주어진채 B' = 'A 그리고 B'의 확률은 1번 * 2번의 연산을 통해 나타난다. 그래서
P(A 그리고 B) = P(A) * P(B | A)라는 형태로 바꿀 수 있는 것이다.
(4) 베이즈 정리의 본질
베이즈 정리의 본질은 입장을 바꿔 생각해보는 것이다. 우리는 처음에 사건 B가 일어날 조건 하에서 사건 A가 일어날 확률을 구하고자 했다. 그런데 막상 맨 우측의 최종식을 보면 P(B | A)와 P(B | A')라는 조건부 확률로 해당 확률을 계산한 것이다.
예시)
어느 학생이 넷 중 하나가 답인 객관식 문제를 풀고 있고, 선생님은 채점을 하는 입장이다. 이때 선생님이 채점을 하면 학생의 답은 맞거나(B) 틀린다(B'). 만약 맞았다고 해보자, 이때 선생님은 과연 그 학생이 문제를 알고(A) 풀었는지 아니면 모르는데(B) 우연히 맞추었는지 알고 싶다. 학생은 알고 맞추었을 수도 있고(A 그리고 B), 모르는데 운이 좋아서 맞추었을 수도 있다(A' 그리고 B).
알고 맞추었을 확률(A 그리고 B)은 알고 있을 확률인 P(A)와 안다는 조건하에서 맞출 확률인 P(B | A)를 곱하여 구한다.
즉, 다음 문제는
A(학생이 문제를 알았다.)
B(학생의 답이 맞았다.)
라는 두가지 사건으로 이루어져있다.
이때, 채점을 끝낸 선생님의 관점에 서보자. 선생님은 문제의 정답을 맞춘 학생이 문제를 이해하고 있었다고 생각할까 아니면 운이 좋았다고 생각할까.
만약 학생이 문제를 이해하고 있었다면 그는 당연히 정답을 맞출 것이다. P(B | A) = 1
만약 학생이 문제를 이해하지 못했다면 그는 찍어서 문제를 풀 것이다. P(B | A') = 1/4 (사지선다)
한편 선생님은 자신의 경험에 비추어 대략 절반의 학생은 문제를 이해하고 있다고 생각한다.
즉, P(A) = 1/2 및, P(A') = 1/2이다.
문제를 맞출 확률 P(B)는 알면서 맞출 확률 P(A 그리고 B)과 모르면서 맞출 확률 P(A' 그리고 B)를 더해서 구한다.
P(B) = P(A) * P(B | A) + P(A') * P(B | A')
P(B) = (1/2 * 1) + (1/2 * 1/4) = 1/2 + 1/8 = 5/8
이렇게 문제를 맞추는 두 가지 가능한 경우의 확률을 더해서 P(B) = 5/8이 나온 것이다.
이때, 우리가 궁금한 것은 학생의 답이 맞았을 경우에, 그 학생이 문제를 알았을 확률이다.
| P(A | B) = (1/2) / (5/8) = 4/5 |
이처럼 학생의 답이 맞았을 경우, 그 학생이 문제를 알았을 확률을 구하기 위해,
그 학생이 문제를 알았거나 몰랐다는 것을 가정한 확률을 우선해서 구했다. P(B | A), P(B | A')
선생님은 문제를 채점하기 전, 학생이 문제를 이해하고 있는지에 대해 반신반의하고 있었다. (절반은 이해한다고)
그런데, 채점을 해 P(A | B)의 확률을 구해보니 문제를 맞춘 학생의 대부분이 문제를 알았다고 더욱 더 확신하게 되었다.
이런 의미에서 P(A)를 사전확률(prior probability) P(A | B)를 사후확률(posterior probability)라고 부른다.
9. 독립
하나의 사건이 일어나느냐 마느냐와 상관없이 다른 사건이 일어날 확률이 변하지 않으면 그 두 사건의 관계를 독립(independent)이라고 부른다. 그렇지 않은 경우 두 사건의 관계를 종속(dependent)이라고 한다. 두 사건 A, B가 독립일 때, P(A | B) = P(A)와 P(B | A) = P(B)가 성립한다. 즉, 두 사건이 서로의 확률에 영향을 주지 않을 땐 조건부 확률의 의미가 없어지는 것이다.
문제 5) 어떤 사람이 동전을 두 번 던진다. 두 번째 시행에서 앞면이 나오면 천원을 상금으로 받는다고 하자.
(a) 처음에 앞면이 나오면 상금을 탈 확률은 얼마인가?
(b) 처음에 뒷면이 나오면 상금을 탈 확률은 얼마인가?
(c) 두 번의 시행은 서로 독립인가?
처음에 앞면이 나오건 뒷면이 나오건에 관계없이 두 번째에 앞면이 나올 확률은 여전히 50%이다. 즉, 두 번의 시행은 서로 독립이며 상금을 탈 확률은 언제나 50%이다.
문제 6) 다음과 같은 상자로부터 두 번 무작위 비복원 추출을 한다.
| 1 | 1 | 2 | 2 | 3 |
(a) 처음에 1이 나왔다고 하자, 두 번째에 2가 나올 확률은 얼마인가?
(b) 처음에 2가 나왔다고 하자, 두 번째에도 2가 나올 확률은 얼마인가?
(c) 두 번의 추출은 서로 독립인가?
처음에 1이 나오면 상자 안에는 1, 2, 2, 3이 남는다. 이 때 두 번째에 2가 나올 확률은 50%이다.
처음에 2가 나오면 상자 안에는 1, 1, 2, 3이 남는다. 이 때 두 번째에 2가 나올 확률은 25%이다.
즉, 두 번의 추출은 서로 종속이다.
| 두 사건이 서로 독립일 때, 두 사건이 모두 일어날 확률은 각각의 비조건부 확률을 곱하여 얻는다. 이를 '좁은 의미의 곱셈법칙'이라고 부른다. 두 사건 A와 B가 독립이면, P(A 그리고 B) = P(A) * P(B) |
10. 배반과 독립, 덧셈과 곱셈
배반과 독립, 덧셈과 곱셉은 쉽게 혼동할 수 있는 개념이다. 배반과 독립은 어떻게 다른지, 언제 더하고 언제 곱하는지 제대로 정립할 필요가 있다.
| 하나의 사건이 발생하면 다른 사건이 발생할 수 없을 때 두 사건은 상호배반이다. 하나의 사건이 발생해도 다른 사건이 일어날 확률이 변하지 않을 때 두 사건은 상호독립이다. |
| 덧셈법칙은 두 사건 중 적어도 하나의 사건이 일어날 확률과 관련된다. 곱셈법칙은 두 사건이 함께 일어날 확률과 관련된다. |
그러므로 더할지 곱할지는 P(A 또는 B)와 P(A 그리고 B) 중 어느 확률을 알고 싶은지에 달려 있다. 이때 단순하게 각 사건을 더하고 곱하려면 각각 배반과 독립이라는 조건이 충족되어야 한다.
| P(A 또는 B)를 구할 때 두 사건의 확률을 단순 덧셈하는 것은 두 사건이 상호배반일 때에만 가능하다. (아닌 경우 중복 제외) P(A 그리고 B)를 구할 때 두 사건의 비조건부확률을 곱하는 것은 두 사건이 상호독립일 때에만 가능하다. (아닌 경우 조건부 확률) |
문제 7) 하나의 주사위를 여섯 번 던졌다. 또 한 벌의 포커 카드를 잘 섞었다.
(a) 주사위에서 첫 번째에 1이 나오거나 마지막에 1이 나올 확률은?
(b) 주사위에서 첫 번째에 1이 나오고 마지막에도 1이 나올 확률은?
(c) 카드에서 맨 위의 카드나 맨 마지막 카드가 스페이드 A일 확률은?
(d) 카드에서 맨 위의 카드 및 맨 마지막 카드 모두 스페이드 A일 확률은?
(a)와 (b)의 보기
① 1/6 + 1/6 ② 1/6 * 1/6 ③ 어느 것도 아님
(c)와 (d)의 보기
① 1/52 + 1/52 ② 1/52 * 1/52 ③ 어느 것도 아님
(a) - 적어도 하나의 확률을 찾는 것이기 때문에 덧셈 법칙과 관련이 있다. 또한 두 사건은 상호 배반이 아니기에 단순 덧셈을 해선 안 된다. (첫 번째와 마지막 모두 1이 나올 수 있음)
답: 어느 것도 아님
(b) - 두 사건이 함께 일어날 확률을 구하는 것이기 때문에 곱셈 법칙과 연관이 있다. 두 사건은 서로 독립이기에 단순 곱셈으로 계산한다 (1이 나와도 이후 시행의 확률에 영향을 주지 않음)
답: 1/6 * 1/6
(c) - 덧셈법칙, 스페이드 A가 동시에 두 장이 존재할 수 없기에 두 시행은 상호배반이다.
답: 1/52 + 1/52
(d) - 곱셈법칙, 한 시행에서 스페이드 A가 나온다면, 다른 시행의 확률을 변동시키기에 두 사건은 종속이다. 즉, 비조건부확률들을 곱해서 단순 곱셈을 하면 안 된다.
답: 어느 것도 아님
* 해당 글은 류근관 저서의 <통계학> 제 3판의 내용을 바탕으로 합니다 *
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